Calcolo delle probabilità

Giovedì 11 maggio in orario di lezione si svolgerà la prova d'esonero.

Le note del corso e i testi delle esercitazioni sono pubblicati sulla mia pagina web 

calzolar@mat.uniroma2.it

Parametri infinitesimali ed equazioni di Kolmogorov, calcolo della funzione di transizione della catena a due stati

Catene di Markov a tempo continuo: descrzione mediante i tempi di soggiono negli stati e le probabilità di salto. Dimostrazione del fatto che dalla proprietà della perdita di memoria segue che la legge dei tempi di soggiorno è esponenziale.

Processi di rinnovo e tasso di rischio di una legge di variabile aleatoria non negativa con densità.

Distribuzione dei tempi di salto del processo di Poisson condizionata al numero di eventi e problema del costo di attesa. Media condizionata  al numero di eventi degli intertempi di salto e rappresentazione del valore medio di una variabile aleatoria non negativa.

Dimostrazione dello splitting, coda con flusso di ingresso Poisson e infiniti sportelli con tempo di servizio a due  valori, processo di Poisson composto.

Esonero

Il processo di Poisson come modello per un flusso di eventi "rari".

Probabilita` che una variabile esponenziale sia più piccola di un'altra esponenziale ed indipendente. Conclusione del "problema della scorta" (sulle Note).

Indipendenza degli incrementi del processo di Poisson. Problema della multa.

Somma di due processi di Poisson indipendenti (merging). Problema della scorta.

Definizione del processo di Poisson e calcolo della legge in un tempo generico, dimostrazione della perdita di memoria del processo di Poisson

Esercitazione: correzione esoneri a.a. 2009/10 e a.a. 2010/11

Dimostrazione della condizione sufficiente per la regolarità.

Dimostrazione dell'unicità del periodo.

Un caso di dinamica markoviana a stati finiti non irriducibile ergodica.

Un caso di dinamica markoviana a stati finiti non irriducibile e non ergodica: calcolo del limite della potenza n-ma della matrice di transizione e, data la legge al tempo 0, calcolo del limite della legge al tempo n.

Esercizi

Enunciato dei principali risultati sull'ergodicità

Misura invarinte: definizione, esempi, spazio degli stati finito è CS per l'esistenza di almeno una, valore sugli stati transienti, esistenza di almeno uno stato persistente è CN per l'esistenza, caso irriducibile persistente positivo.

Definizione di ergodicità e conseguenze.

Persistenza e transienza di una catena di nascita e morte con infiniti stati

Coda con arrivi e partenza con legge bernoulliana

Comportamento asintotico della catena a 2 stati

Tempi medi di assorbimento nella classe di tutt gli stati persistenti

Probabilità di estinzione nella catena di nascita e morte con estremi assorbenti

Esercitazione in classe

Condizione necessaria affinché uno stato sia transiente nel caso spazio degli stati finito

Equazione di Chapman-Kolmogorov

Transitività della proprietà di comunicazione tra stati

Decomposizione dello spazio degli stati

Uscita certa dalla classe degli stati transienti quando ha cardinalita finita

Legge e valor medio del numero dei passaggi per uno stato

La probabilità di raggiungere uno stato transiente in un grande numero di passi

Correzione esercizio

Probabilità di assorbimento.

Condizione sufficiente per la transienza di uno stato.

Condizione sufficiente per la persistenza di uno stato (non dimostrata).

Esistenza di almeno uno stato persistente in una classe chiusa finita e persistenza delle classi irriducibili finite.

Dimostrazione Teorema degli infiniti ritorni

Tempo di primo ingresso in uno stato

Legge e valore medio del numero di visite ad uno stato

Esercizi 

Correzione esercizio.

Catena di una fila di attesa.

Rappresentazione in forma ricorsiva di una catena.

Grafico di una catena.

Stati comunicanti e classi irriducibili.

Definizione di transienza e persistenza di uno stato.

Lemma di continuità della misura di probabilità

Probabilità di transizione in uno e più passi.

Densità di probabilità ad uno  più  tempi.

Caratterizzazione di una catena.

Rovina del giocatore, nascita e morte, urna di Ehrenfest.

Richiami su indipendenza di famiglie di eventi e famiglie di variabili aleatorie.

Definizione di catene di Markov a tempo discreto e spazio discreto.

Passeggiata aleatoria sugli interi. 

Test di autovalutazione e richiami di probabilità

7 marzo

Test di autovalutazione e richiami di probabilità

Catene di Markov a tempo discreto e a stati numerabili.

Processo di Poisson.

Elementi della teoria dei processi di rinnovo.

Catene di Markov a tempo continuo.

A.Calzolari, "Modelli stocastici a valori discreti, Note del corso di CP per la LM in Informatica"

H.C.Tijms, "A First Course in Stochastic Models"

P.Baldi, "Calcolo delle probabilità"

Per appuntamento, martedì o giovedì ore 14, in studio

Esame scritto in due moduli affrontabili in una sola prova o in due prove separate e con voto che si conserva per un anno a partire dalla prima prova affrontata. Il primo modulo consiste in uno  o più esercizi sulle catene di Markov a tempo discreto, mentre il secondo modulo sostituisce una prova orale e quindi propone quesiti sulla rimanente parte del programma ai quali occorre rispondere in modo discorsivo ma rigoroso. Il voto finale è la media dei due voti.

In accordo con il regolamento del corso di laurea, lo studente potrà accedere a 4 dei 6 appelli proposti (2 appelli per ogni sessione) ma ad uno solo nelle sessioni autunnali e invernali.