INSIEMI NUMERICI. Numeri interi e razionali. Numeri reali e loro proprietà. Estremo superiore e inferiore e loro proprietà. Radici, potenze e logaritmi. Il principio di induzione. Numeri complessi e loro proprietà. Rappresentazione cartesiana e esponenziale. Radici n-sime complesse. L'equazione di secondo grado nel campo complesso.
FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE. Nozioni di base: dominio, immagine, grafico. Funzioni monotone e funzioni invertibili. Richiami sulle funzioni: potenze, esponenziali, logaritmiche, trigonometriche e loro inverse.
SUCCESSIONI. Limiti di successioni: definizione e proprietà. Successioni monotone. Successioni infinitesime, infinite e confronti. Forme indeterminate, limiti notevoli, il numero e. Sottosuccessioni. Il teorema di Bolzano-Weierstrass.
LIMITI E CONTINUITA' PER FUNZIONI REALI. Intorni e punti di accumulazione sulla retta reale. Limite di una funzione: definizione e proprietà. Infinitesimi, infiniti e confronti. Forme indeterminate, limiti notevoli. Funzioni continue. Punti di discontinuità. Massimi e minimi di funzioni continue, teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri.
CALCOLO DIFFERENZIALE. Derivabilità e retta tangente. Derivata delle funzioni elementari, regole di derivazione. Estremi locali e derivate.
Teorema di Rolle, teorema del valor medio e teorema di Cauchy. Monotonia e derivate. Teorema di de L'Hopital e applicazioni. Derivate successive; concavità e convessità. Studio del grafico di funzioni. Il polinomio di Taylor e sue applicazioni al calcolo dei limiti.
CALCOLO INTEGRALE Definizione di integrale di Riemann e sue proprietà.
Classi di funzioni integrabili. Il teorema fondamentale del calcolo integrale. Metodi di integrazione: integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Integrabilità in senso improprio. Criteri di convergenza: criterio del confronto e sue conseguenze.
SERIE NUMERICHE. Definizioni. Serie positive: teorema del confronto, del confronto asintotico, della radice e del rapporto. Teorema del confronto integrale per una serie. Serie geometrica, serie armonica generalizzata.
Serie a segni alterni: criterio di Leibniz.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI. Equazioni differenziali lineari del primo ordine.
INTRODUZIONE AL CALCOLO DIFFERENZIALE IN PIU' VARIABILI. Derivate parziali. Definizione di gradiente e equazione del piano tangente.
Matrice Hessiana e formula di Taylor fino al secondo ordine. Studio della natura dei punti critici nei casi più semplici. |